Funciones y sus gráficas

Concepto intuitivo de función.

Propiedades de las funciones y su interpretación gráfica: Dominio, recorrido, continuidad, monotonía, extremos relativos.

1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría, por término medio, dedicar a cada enfermo, depende del número de ellos que se acudan:

1 enfermo--------------à  60 minutos

2 enfermos ------------à 30 minutos

3 enfermos ------------à 20 minutos

.....  .......   ......... ......

Así hasta un máximo de 30 enfermos. Si llamamos x al número de enfermos e y al de minutos dedicados a cada enfermo escribe la expresión funcional que existe entre ellas ¿Cómo es la variable independiente, continua o discreta? Dibuja la gráfica ¿ Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea?

2. En unos aparcamientos públicos figura la siguiente tarifa de precios:

                   Tarifa

1ª hora o fracción ---------------à 1 €

Cada hora más o fracción---------à 0,8 €

Máximo 12 € por 24 horas

Haz una gráfica representativa de la función : tiempo de aparcamiento....... coste

 

4. Representa los siguientes pares (x, y) . Indica la relación entre las variables x e y:

 

x	1	3	4	5,5	7	....
y	0,75	2,25	3	4,125	5,525	....

 

5.  Dada la tabla

x	0	1	2	3	4	....
y	1	3	5	7	9	....

Representa estos puntos en un sistema de ejes coordenados y escribe la ecuación de la función que relaciona las variables x e y.

 

6. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y = 3x                                                     b) y = x²-3

e)                                                   f)

 

h)

 

7. Consideremos f(x) = y g(x) = x², calcula el dominio de la composición. Calcula fog.

 

8. Calcula la inversa de  a) y = 3x -3;

 b)

 

8.  Estudia la continuidad[1] de las siguientes funciones:

a)

  

 

             Discontinua en  x =0,

b)

 

             Continúa en todos los puntos.

 

c)

d)

 

9[2].  Para las funciones del ejercicio anterior, estudia la monotonía, simetría y los máximos y mínimos.

 

b)

Solución

creciente en ]-4, -2[ È]-2, 0[ y decreciente en ]0, 2[È]2, 4 [

simétrica respecto el eje OY

mínimo no tiene, el máximo se alcanza en el 0 y vale 0

 

Interpolación lineal[3]

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

 

Cuando las variaciones de la y son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente x se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores por interpolación lineal..

Sean dos puntos (x_o, y_o), (x_1, y₁), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x₀< x < x₁. Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

 

 

 obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

 

Ejercicios

1. Dada la siguiente tabla, obtener por interpolación lineal el valor de .

 

2. El aumento de líneas telefónicas instaladas en España durante los tres últimos años fue:

¿Es lineal el aumento producido?

 

3.  Un investigador ha observado que la vida media de una bacteria varía con la temperatura media en la siguiente forma

Temperatura	6º	9º	12º	15º	16º
Vida media	104,2	140,4	181,7	220,2	257,6

Se pide:

a) Efectuar una representación gráfica, tomando en abscisas las temperatura s y en ordenadas la vida media.

b) Calcular las variaciones de la función “vida media” al variar la temperatura.

c) ¿Los resultados anteriores indican que la vida media varía linealmente con la temperatura?

d) En caso afirmativo, mediante interpolación lineal, obtener la vida media para las siguientes temperaturas: 8º, 10,2º, 14,5º y 15,3º

 

5.El número de turistas entrados en España en el período 1985-2000 siguió la siguiente tendencia:

 

a) Expresar la función definida a trozos que daría, por interpolación lineal, el número de turistas en cada año intermedio.

b) Hallar la previsión para el año 1998 (suponiendo fuese lineal).

c) Calcular el número de turistas en 2004.

 

Estudio y representación de funciones elementales

1. Halla la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:

a) (2. 3) y (-1, 0)

 

 

2. Halla la pendiente de las rectas:

a) y = -3x +1

b) y = 2-x

c) 3x-2y-4=0

 

d)  

 

 

3. Representa las siguientes funciones lineales o afines:

a) y =2x       ; b) y =3; c) y = 3x-2; d); e)

 

5. Dibuja y halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a)  (2. 3) y (-1, 0)

b) (3, 1) y (4, -5)

 

6. Hallar la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) Pasa por el punto (0, 1) y tiene por pendiente 3

b) Pasa por el punto (0, 4) y tiene por pendiente 3/4

c) Pasa por el punto (-3, 3) y tiene por pendiente -4

 

8. Calcula la expresión algebraica de la función cuya gráfica es:

 

 

9. Representa en los mismos  ejes coordenados las siguientes rectas:

b) y = x-3   e    y = -x +2;

c)  e 

 

11. Representa las siguientes parábolas indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes.

a) y =x² ;  b); c)  y = -3x² +6; d) y = x² +x +1;  e) y = x² -5x+6;  f) y =-x² +3x-2

 

12. Dibuja en unos mismos ejes cartesianos la recta y = x- 3 y la parábola  y = x² -5x+6.

 

13. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:

b)                             c)

14. Resuelve analítica y gráficamente el sistema:

15. Representa las siguientes funciones usando una tabla de valores adecuada:

a) ;

 b) ;

Solución

b).figura 1

x	-1	0	1	3	...
y	1	2	2,4142	3	...

c) ;

d) ;

e)

16. Representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa:

a)

; b) ;

c) ;

 

17. Representa las siguientes funciones exponenciales utilizando una tabla de valores:

a) y = 3^x ;

 

b) y = 2^{- x} ;

 

d) y = 2^x -3

 

18. La gráfica de una función exponencial del tipo y = k .a ^x pasa por los puntos (0, 4) y (1, 8)´

a) Calcula k y a

b) Representa la función.

 

19.  Representa las funciones: a) y = ln  x; b) y = ln (x +1); c) y = log2 x; d) y = log₂ (2-x)

20.  Representa las funciones a) f(x)= cos (x + ; b) f(x) = 1+ sen x; c) f(x) = - sen x

21. Dibuja en el intervalo [0, 6] la función que a cada número positivo le hace corresponder su parte entera.

22.  Representa  

23. Busca la expresión analítica de la siguiente función:

Problemas

1. Antonio ha comprado un coche que le ha costado 19500 €. El coche se deprecia un 20% cada año. Al cabo de un tiempo decide venderlo y le dan 5200 € . ¿Cuántos años han pasado?

Indicación: Haz la gráfica de la situación planteada y encuentra el punto de la gráfica cuya ordenada valga 5200.

 

2. El consumo de gasolina de gasolina de cierto automóvil, por cada 100km, depende de la velocidad a la que va . a 60Km/h consume 5,7 l y a 90km/h consume 7,2km/h. Estima cúanto consumirá si recorre 100km a 70km/h.

4. Un viajero llega tarde a la estación y el tren ya ha salido.

Si las ecuaciones de las trayectorias del viajero y del tren son:

Tren:        Viajero       

indica si el viajero alcanza el tren y en este último caso el momento del encuentro.

 

6. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 15 años. Tenemos 10 gramos de esa sustancia. Encontrar la función que nos da la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo transcurrido

7. Un virus se reproduce por división transversal: en 2 horas cada virus se divide en tres. En el día 0 se ha contado un millón de virus de ese tipo y se estudia la evolución de esta población en función del tiempo.

a) Encontrar la expresión de la población en función del tiempo, en horas.

b) ¿Cuál es el efectivo de la población en la primera hora?

c) ¿Cuánto tiempo tardará en doblarse? ¿Y en multiplicarse por 10?

 

8. El precio del metro cuadrado de baldosas para suelos depende de la cantidad que compremos, x, y viene dado por la función:

a) Representa gráficamente la función

b) ¿Cuál será el precio si compró 250 m²?

c) Para conseguir un precio inferior a 3 € /m² ¿cuántos m², como mínimo, tengo que comprar?

 

Límites

Estudia si tienen límite las siguientes funciones, en los puntos indican:

2. en x =2

3.

4.

5. En x =0 y cuando x tiende a +

 

 

7. ; en x =0 y x =2

8. En x =0 y x =1

 

Calcula las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva con respecto a ellas:

2.